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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 39

  1. Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ x 16 x 4 - 1 d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = 4 x 2

d u = 8 x   d x

Então, podemos dizer que:

∫ x 16 x 4 - 1 d x = ∫ 1 u 2 - 1 . d u 8

∫ x 16 x 4 - 1 d x = 1 8 ∫ 1 u 2 - 1

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ d u u 2 - a 2   = 1 2 a ln ⁡ u - a u + a + C

Se a = - 1 :

∫ x 16 x 4 - 1 d x = 1 8 1 2 ( - 1 ) ln ⁡ u - ( - 1 ) u + ( - 1 ) + C

Simplificando :

∫ x 16 x 4 - 1 d x = 1 8 - 1 2 ln ⁡ u + 1 u - 1 + C

Retirando a constante :

∫ x 16 x 4 - 1 d x = - 1 16 ln ⁡ u + 1 u - 1 + C

Substituindo u = 4 x 2 :

∫ x 16 x 4 - 1 d x = - 1 16 ln ⁡ 4 x 2 + 1 4 x 2 - 1 + C

Resposta

∫ x 16 x 4 - 1 d x = - 1 16 ln ⁡ 4 x 2 + 1 4 x 2 - 1 + C

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