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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 4

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Aplicando o método da substituição simples com u = x 2 + 1 e d u = 2 x d x , tem-se:

∫ t g u d u 2 = 1 2 ∫ s e n u c o s u d u

Aplicando a substituição novamento, agora com v = c o s u e d v = - s e n u d u :

= - 1 2 ∫ 1 v d v = - 1 2 ln ⁡ v + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 2

Retornando a variável original, tem-se:

= - 1 2 l n ⁡ | cos ⁡ x 2 + 1 |   + C

Passo 3

Pelas propriedades de logaritmos:

- 1 1 2 l n ⁡ | cos ⁡ x 2 + 1 |   + C = 1 2 l n ⁡ | cos ⁡ x 2 + 1 - 1 | + C

∴ = 1 2 ln ⁡ s e c 2 x 2 + 1 + C

Resposta

1 2 ln ⁡ s e c 2 x 2 + 1 + C

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Calcule a integral indefinida. ∫ x cotg 2 ⁡ x 2 - 1 cosec 2 ⁡ x 2 - 1 d x