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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 69

Use a fórmula:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y , sendo y = f - 1 ( x )

Expresse suas respostas em termos de x:

69 - ∫ sec - 1 ⁡ x d x

Passo 1

Vamos utilizar a fórmula indicada no enunciado, deste modo:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y

Sendo:

f - 1 x = sec - 1 ⁡ x e f y = sec ⁡ ( y )

Desta forma reescreveremos a função na integral:

∫ f - 1 x d x = x s e c - 1 x - ∫ s e c ( y ) d y

Passo 2

Resolveremos agora a parte da integral:

x s e c - 1 x - ∫ s e c ( y ) d y

Dado: ∫ s e c y =   - ln ⁡ ( | sec ⁡ ( y ) + tan ⁡ y | ) + c

Deste modo teremos:

x s e c - 1 x - ( - ln ⁡ ( | sec ⁡ ( y ) + tan ⁡ y | ) ) +   c =

x s e c - 1 x + ln ⁡ ( | sec ⁡ ( y ) + tan ⁡ y | ) + c

Passo 3

Dado: y = f - 1 ( x ) , substituindo teremos:

x s e c - 1 x + ln ⁡ ( | sec ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) + tan ⁡ sec - 1 ⁡ x | ) + c

Resposta

x s e c - 1 x + ln ⁡ ( | sec ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) + tan ⁡ sec - 1 ⁡ x | ) + c

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