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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 56

Calcule ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x por quatro métodos:

  1. a substituição u = cos ⁡ x ,
  2. a substituição u = sen ⁡ x ,
  3. a identidade sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x ,
  4. integração por partes

Explique os aspectos diferentes de suas respostas.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Aqui a questão já nos diz como iremos resolver essa atividade.

Passo 2

  1. Tendo que u = cos ⁡ x , teremos que d u = - sen ⁡ x d x , então:

    2. ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ u - d u

    = - 1 2 u 2 + C = - 1 2 cos 2 ⁡ x + C 1

  2. Tendo que u = sen ⁡ x , teremos que d u = cos ⁡ x d x , então:

    ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ u d u

    = 1 2 u 2 + C = 1 2   sen 2 ⁡ x + C 2

    Passo 3

  3. Temos que

    4. ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 1 2 sen ⁡ 2 x d x

    = - 1 4 cos ⁡ 2 x + C 3

  4. A gente diz que u = sen ⁡ x ,   d v = cos ⁡ x d x . Então, d u = cos ⁡ x d x ,   v = sen ⁡ x , então:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = sen 2 ⁡ x - ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x

Colocando o termo ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x   no lado esquerdo da igualdade:

∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = 1 2 sen 2 ⁡ x + C 4

Usando cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x e cos ⁡ 2 x = 1 - 2 sen 2 ⁡ x , então nós vemos que as respostas diferem apenas pela constante.

Resposta

  1. - 1 2 cos 2 ⁡ x + C 1
  2. 1 2   sen 2 ⁡ x + C 2
  3. - 1 4 cos ⁡ 2 x + C 3
  4. 1 2 sen 2 ⁡ x + C 4
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