Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 20

Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .

y = (1)/(sqrt(x - 1))

Passo 1

Vamos usar a Fórmula 1 2 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta y)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Passo 2

Vamos então aplicar:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(sqrt(x + Delta x - 1)) - (1)/(sqrt(x - 1)))/(Delta x)

Agora vamos manipular o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(sqrt(x + Delta x - 1)) - (1)/(sqrt(x - 1)))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((sqrt(x - 1) - sqrt(x + Delta x - 1))/(sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1)))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (sqrt(x - 1) - sqrt(x + Delta x - 1))/(sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1)) * (1)/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (sqrt(x - 1) - sqrt(x + Delta x - 1))/(Delta x sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1)) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((sqrt(x - 1) - sqrt(x + Delta x - 1)) (sqrt(x - 1) + sqrt(x + Delta x - 1)))/(Delta x sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1) (sqrt(x - 1) + sqrt(x + Delta x - 1))) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (x - 1 - (x + Delta x - 1))/(Delta x sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1) (sqrt(x - 1) + sqrt(x + Delta x - 1))) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (x - 1 - x - Delta x + 1)/(Delta x sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1) (sqrt(x - 1) + sqrt(x + Delta x - 1))) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1) (sqrt(x - 1) + sqrt(x + Delta x - 1)))

E por último vamos cancelar o termo Delta x do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1) (sqrt(x - 1) + sqrt(x + Delta x - 1))) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (- 1)/(sqrt(x + Delta x - 1) sqrt(x - 1) (sqrt(x - 1) + sqrt(x + Delta x - 1))) =

= (- 1)/(sqrt(x + 0 - 1) sqrt(x - 1) (sqrt(x - 1) + sqrt(x + 0 - 1))) = (- 1)/(sqrt(x - 1) sqrt(x - 1) (sqrt(x - 1) + sqrt(x - 1))) =

= (- 1)/((x - 1) (2 sqrt(x - 1))) = (- 1)/(2 (x - 1)^((3)/(2)))

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 (x - 1)^((3)/(2)))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula move-se sobre uma reta , sendo s a distancia orientada da partícula a partir da origem , V m/s, a velocidade da partícula e A m/s² , a aceleração da partícula, t s. Se a = e t + e - t ,
Ache a equação da reta tangente à curva y = x x - 1 em (2,2)
Faça o Exercício 65 da série de Exercícios de Revisão do Capítulo 5, calculando todas as integrais.Exercício 65) Mostre que cada uma das desigualdades é válida: c ) ∫ 4 5 d x x - 3 ≥ ∫ 4 5 d x x
Prove que se x0 e int_1^x t^(h - 1) d t = 1 , então underset(h - 0)(lim) x = underset(h - 0)(lim) (1 + h)^((1)/(h))
Faça o Exercício 65 da série de Exercícios de Revisão do Capítulo 5, calculando todas as integrais.Exercício 65) Mostre que cada uma das desigualdades é válida: b ) ∫ 1 2 d x x ≥ ∫ 1 2 d x x - 3