Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 70
- Use a fórmula no Exercício 69(b) para encontrar a curvatura da parábola no ponto .
- Em que ponto essa parábola tem curvatura máxima?
Passo 1
Olá, meu parceiro. Vou te ajudar essa questão.
A gente vai usar a fórmula do exercício 69b:
Que é a curvatura num ponto da curva parametrizada.
Então a gente precisa realizar esses cálculos, para então resolvermos a nossa atividade. Como a gente quer esses resultados para o ponto:
A gente precisará substituir esse ponto na fórmula:
Ao final do processo.
Passo 2
- Queremos encontrar a curvatura da parábola . Para facilitar, vamos usar uma parametrização, chamando , então
- Queremos agora encontrar em qual ponto essa parábola tem curvatura máxima.
Lembrando a fórmula da curvatura:
Precisamos achar a curvatura em . Quando
Então:
Substituindo na fórmula de
Passo 3
A gente encontra um valor máximo ou mínimo de uma função, derivando essa função e igualando sua derivada a zero. Isso que iremos fazer aqui:
Derivando , vamos ter que utilizar a regra do quociente:
Para derivar:
Vamos ter que utilizar a regra da cadeia, pois temos uma composição de função:
Agora vamos igualar a derivada a zero:
E isso só é zero para
Substituindo na equação da função:
E o ponto de curvatura máxima é o:
Resposta
- Ver o desenvolvimento.