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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 88

A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão P e volume V é P V = m R T , onde R é a constante do gás. Mostre que

∂ P ∂ V ∂ V ∂ T ∂ T ∂ P = - 1

Passo 1

Show de bola, galera. Nosso passo 1 será determinar as funções que, no final das contas, iremos derivar parcialmente. Sabemos que P V = m R T . Agora, basta isolar as variáveis da equação sob a forma de função....É tranquilo, vejam:

P V , T = m R T V

V P , T = m R T P

T P , V = P V m R

Simples assim!

Agora partiu calcular as derivadas parciais...

Passo 2

∂ P ∂ V = ∂ ∂ V m R T V = - m R T V 2

∂ V ∂ T = ∂ ∂ T m R T P = m R P

∂ T ∂ P = ∂ ∂ P P V m R = V m R

Agora que calculamos tudo, é só sair multiplicando essas derivadas que calculamos e ver se chegamos no resultado - 1 :

∂ P ∂ V ∙ ∂ V ∂ T ∙ ∂ T ∂ P = - m R T V 2 ⏟ ∂ P ∂ V ∙ m R P ⏟ ∂ V ∂ T ∙ V m R ⏟ ∂ T ∂ P = - m R T ⏞ = P V P V = - 1

Shooow!!! Deu tudo certo! Chegamos no resultado final!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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