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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 49

Use a derivação implícita para encontrar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y .

e z = x y z

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular as derivadas implícitas ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y da equação:

e z = x y z

Tem ideia de como fazemos isso?

Para calcular a derivada implícita de uma função implícita podemos usar uma formulinha bem interessante:

Dada uma equação f x , y , z = 0 , a derivada de z em função de x pode ser calculada por:

∂ z ∂ x = - f x f z

Ou seja, vamos passar todos os termos da equação para um lado e determinar a função f e assim derivar f parcialmente em relação às variáveis que queremos.

OBS: perceba que em ∂ z ∂ x = - f x f z as variáveis são cruzadas, ou seja, se quisermos a derivada de x em relação a y fazemos - f y / f x ...

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar montando nossa função f passando todos os termos da equação para um lado.

f x , y , z = e z - x y z = 0

Agora para calcular ∂ z ∂ x vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e z .

Derivando f parcialmente em relação a x , consideramos y e z constantes...

f x = ∂ e z - x y z ∂ x = - y z

Agora derivamos em relação a z ...

f z = ∂ e z - x y z ∂ z = e z - x y

Substituindo na formulinha da derivação implícita...

∂ z ∂ x = - f x f z = - - y z e z - x y

∂ z ∂ x = y z e z - x y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora queremos calcular ∂ z ∂ y . Então a formulinha fica:

∂ z ∂ y = - f y f z

Já temos f z calculado do passo anterior, mas ainda precisamos calcular f y .

Derivando f parcialmente em relação a y .

f y = ∂ e z - x y z ∂ y = - x z

Substituindo na fórmula:

∂ z ∂ y = - f y f z = - - x z e z - x y

∂ z ∂ y = x z e z - x y

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∂ z ∂ x = y z e z - x y

∂ z ∂ y = x z e z - x y

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A função diferenciável z = z ( x , y ) é dada implicitamente pela equação f x y , z = 0 , onde f ( u , v ) é suposta diferenciável e ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 . Verifique que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = 0
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Expresse d y d x em termos de x e y .a) x 2 y + s e ny = x b) y 4 + x 2 y 2 + x 4 = 3
Sejam u = x + y e v = (y)/(x) . Calcule o determinante jacobiano (del (u , v))/(del ( x , y )) .
Suponha que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam dadas implicitamente pelo sistema x 2 + z 2 = 1 y 2 + z 2 = 1 a) Expresse d y d x e d z d x em termos de x , y e z .b) Determine u
Suponha que y = y ( x ) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x = F x 2 + y ,y 2 , onde F ( u , v ) é supostamente diferenciável. Expresse d y d x em termos de x , y e das derivadas pa