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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 38

Use a fórmula 11 para resolver o problema de valor inicial.

d y d x = 1 x ln ⁡ x , y e = 1

Passo 1

A fórmula para esse tipo de problema é:

y x = y 0 + ∫ x 0 x f ( t ) d t

Nesse caso, temos:

x 0 = e

y 0 = 1

f t = 1 t ln ⁡ t  

Então:

y x = 1 + ∫ e x 1 t ln ⁡ t   d t

Passo 2

Resolvendo essa integral:

∫ e x 1 t ln ⁡ t   d t

Fazendo a substituição u = ln ⁡ t → d u = 1 t d t

∫ e x 1 t ln ⁡ t   d t = ∫ 1 ln ⁡ x 1 u   d u

∴

∫ e x 1 t ln ⁡ t   d t = ln ⁡ ln ⁡ x - ln ⁡ 1 = ln ⁡ ln ⁡ x

Passo 3

Voltando na fórmula:

y x = 1 + ∫ e x 1 t ln ⁡ t   d t

∴

y x = ln ⁡ ln ⁡ x + 1

Resposta

y x = ln ⁡ ln ⁡ x + 1

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