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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 36

Use a fórmula 11 para resolver o problema de valor inicial.

d y d x = x + 1 x , y 1 = 0

Passo 1

A fórmula para esse tipo de problema é:

y x = y 0 + ∫ x 0 x f ( t ) d t

Nesse caso, temos:

x 0 = 1

y 0 = 0

f t = t + 1 t

Então:

y x = 0 + ∫ 1 x t + 1 t d t

Passo 2

Resolvendo essa integral:

∫ 1 x t + 1 t d t = ∫ 1 x t t 1 2   + 1 t 1 2 d t = ∫ 1 x t 1 2   + t - 1 2 d t = 2 3 x 3 2 - 2 3 + 2 x 1 2 - 2

∴

∫ 1 x t + 1 t d t = 2 3 x 3 2 + 2 x 1 2 - 8 3

Passo 3

Voltando na fórmula:

y x = 0 + ∫ 1 x t + 1 t d t

∴

y x = 2 3 x 3 2 + 2 x 1 2 - 8 3

Resposta

y x = 2 3 x 3 2 + 2 x 1 2 - 8 3

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