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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 1

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 3 y + 1 d y
  2. ∫ - 1 0 y + 1 d y

Passo 1

Vamos começar lembrando do Teorema 7:

∫ a b f g x ∙ g ' x d x = ∫ g a g b f u d u

Assim, faremos uma mudança de variável:

u = y + 1

Derivando dos dois lados:

d u = d y

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

y = 0 → u = 0 + 1 = 1

y = 3 → u = 3 + 1 = 4

Assim,

∫ 0 3 y + 1 d y = ∫ 1 4 u d u

Calculando a integral:

∫ 1 4 u d u = ∫ 1 4 u 1 2 d u = u 3 2 3 2 1 4 = 2 u 3 2 3 1 4 = 2 u 3 3 1 4 = 2 4 3 3 - 2 1 3 3

∫ 1 4 u d u = 2 64 3 - 2 3 = 2 ∙ 8 3 - 2 3 = 16 - 2 3 = 14 3

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

y = - 1 → u = - 1 + 1 = 0

y = 0 → u = 0 + 1 = 1

Assim,

∫ 0 3 y + 1 d y = ∫ 0 1 u d u

Vamos calcular a integral agora:

∫ 0 1 u 1 2 d u = 2 u 3 3 0 1 = 2 1 3 3 - 2 0 3 3 = 2 3

Resposta

  1. 14 / 3
  2. 2 / 3
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