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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 17

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 π / 6 cos - 3 ⁡ 2 θ sin ⁡ 2 θ d θ

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = cos ⁡ 2 θ

Derivando dos dois lados:

d u = - sin ⁡ 2 θ 2 θ ' d θ

d u = - 2 sin ⁡ 2 θ d θ

- d u 2 = sin ⁡ 2 θ d θ

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

θ = 0 → u = cos ⁡ 2 ∙ 0 = 1

θ = π / 6 → u = cos ⁡ 2 ∙ π 6 = 1 2

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 π / 6 cos - 3 ⁡ 2 θ sin ⁡ 2 θ d θ = ∫ 0 π / 6 cos ⁡ 2 θ - 3 sin ⁡ 2 θ d θ = - ∫ 1 1 / 2 u - 3 d u 2

Calculando a integral:

- 1 2 ∫ 1 1 2 u - 3 d u = - 1 2 u - 2 - 2 1 1 / 2 = - 1 2 - 1 2 u 2 1 1 / 2

- 1 2 ∫ 1 1 2 u - 3 d u = - 1 2 - 1 2 1 2 2 - - 1 2 1 2 = - 1 2 - 1 2 ∙ 1 4 + 1 2

- 1 2 ∫ 1 1 2 u - 3 d u = - 1 2 - 2 + 1 2 = - 1 2 - 4 + 1 2 = 3 4

Fim!!!

Resposta

3 / 4

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