Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Queremos encontrar a área da seguinte região sombreada:

Repara que essa região é a curva 2 y - y^2 menos a curva y^2 - 4 y ?!

Isso porque a curva da direita tem valores maiores de x quando comparados a curva da esquerda. Logo, se subtraímos uma da outra vamos ter um x positivo.

Temos então:

2 y - y^2 - (y^2 - 4 y) = - 2 y^2 + 6 y

Mas pra calcular uma área precisamos integrar a função com os limites de integração. Certo?!

Eles vão ser os y , nos pontos de intersecção entre as curvas:

l i m i t e i n f e r i o r -> 0

l i m i t e s u p e r i o r -> 3

Agora escrevemos a integral:

int_0^3 - 2 y^2 + 6 y d y

Sabemos que temos que integrar com respeito a y pois as curvas estão “de ladinho”!

Passo 2

Agora integramos:

int_0^3 - 2 y^2 + 6 y d y = [- 2 (y^3)/(3) + 6 (y^2)/(2)]_0^3

Aplicando os limites de integração:

[- 2 (y^3)/(3) + 6 (y^2)/(2)]_0^3 = [- 2 ((3^3)/(3)) + 6 ((3^2)/(2)) - (- 2 ((0^3)/(3)) + 6 ((0^2)/(2)))]

= [- 18 + 27] = 9

A = 9

Prontinho!

Resposta

A = 9

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