57. Use o gráfico para encontrar um número N tal que

| (6 * x^2 + 5x - 3) / (2 * x^2 - 1) - 3 < 0,2

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos desenhar o gráfico (como a função é meio estranha e o gráfico não é tão conhecido, então vamos usar algum software) e depois encontramos o número N tal que:

6 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 1 - 3 < 0,2

Pra isso vamos usar a definição:

Seja f uma função definida em algum intervalo a , ∞ . Então

lim x → ∞ ⁡ f x = L

Significa que para todo ε > 0 existe um correspondente número N tal que

f x - L < ε sempre que x > N

No nosso caso:

f x = 6 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 1

L = 3

ε = 0,2

Lembrando que:

Se x < a

Então:

- a < x < a

Então vamos desenhar no gráfico a função f x = 3 e a reta y = 3 . Depois vamos ver em que parte elas praticamente se encontramos, pois queremos achar valores de x onde a diferença, em módulo, f x - 3 seja menor que 0,2 .

Passo 2

Reescrevendo após lembrarmos esse nosso conceito de módulo, teremos essa parada aqui:

- 0,2 < 6 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 1 - 3 < 0,2

Somaremos o 3 , para deixarmos essa expressão feia, mais amigável. Vamos lá!

2,8 < 6 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 1 < 3,2

Então nosso objetivo é determinar os valores de x para os quais a curva com equação 6 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 1 fique entre as retas y = 2,8 e y = 3,2

Passo 3

Pelo enunciado da questão, teremos que usar um recurso gráfico. Usarei o meu software de gráfico, porém você decide qual software irá usar.

Apenas lembre de fazer o gráfico da curva (linha azul)

y = 6 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 1

Da reta y = 3   (linha verde) e das retas y = 3,2 (linha vermelha) e y = 2,8 (linha laranja).

Repara que a linha azul (linha da função) começa a se aproximar da linha vermelha próximo de x = 12 , então vamos dar um super zoom no gráfico:

O ponto A é o ponto onde o gráfico da função começa a ficar entre as as retas y = 2,8 e y = 3,2 . E esse ponto está entre 12 e 13 , portanto. O menor número para o gráfico da função ficar na região entre essas duas retas é o número 13 .

N = 13

Resposta

N = 13

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