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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 38

Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das coordenadas x dos pontos de intersecção das curvas indicadas. A seguir, encontre a área aproximada da região delimitada pelas curvas.

y = x cos ⁡ x ,     y = x 10    

Passo 1

Bom galera, antes de começar, vamos desenhar esta situação !

Agora vamos chamar:

f x = x cos ⁡ x                 ( v e r d e ! )

g x = x 10                         ( v e r m e l h o ! )

Já sabemos como se calcula área sobre as curvas, não é?

E quanto aos intervalos de integração?

Nós vamos calcular a área entre os pontos onde eles se cruzam. E onde se cruzam?

Vamos igualar as funções e descobrir, ok?

x cos ⁡ x = x 10 → x 10 - x . cos ⁡ x = 0

x ( x 9 - cos ⁡ x ) = 0

Então:

x = 0     o u     x = 0,94

Passo 2

Como nossa variável é o x nosso intervalo de integração vai de 0 → 0,94 .

Agora ficou fácil, não é?

A = ∫ 0 0,94 f x - g x . d x

Substituindo as funções:

A = ∫ 0 0,94 x cos ⁡ x - x 10 . d x

Vamos separar a integral:

= ∫ 0 0,94 x cos ⁡ x . d x - ∫ 0 0,94 x 10 . d x

= ∫ 0 0,94 x cos ⁡ x . d x - x 11 11 | 0,94 0

A outra integral nós teremos que resolver por substituição:

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ x . d x → v = s e n   x

Então:

= x . s e n   x - ∫ 0 0,94 s en ⁡ x . d x - x 11 11 | 0,94 0

= x . s e n   x - - cos ⁡ x 0,94 0 - x 11 11 0,94 0

= x . s e n   x + cos ⁡ x 0,94 0 - x 11 11 0,94 0

Aplicando o intervalo:

= 0,34889 - 0,046 = 0,3028

Então:

A = 0,3028

Resposta

A = 0,3028

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