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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 10

Derive a função:

Y (u) = ( u^(- 2) + u^(- 3) ) ( u^5 - 2 u ² )

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar a seguinte função:

Y (u) = ( u^(- 2) + u^(- 3) ) ( u^5 - 2 u ² )

Para isso, precisaremos utilizar a regra do produto.

Sejam f e g duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre as duas funções é dada por:

(f * g)^' = f g^' + f^' g

Também precisaremos da regra da soma/subtração, que é dada por:

(f +- g) = f^' +- g^'

Agora bora aplicar!!

Passo 2

Aplicando a Regra do Produto, temos:

Y^' ( u ) = ( u^(- 2) + u^(- 3) ) . (d)/(d u) (u^5 - 2 u ²) + ( u^5 - 2 u ² ) . (d)/(d u) ( u^(- 2) + u^(- 3) )

Agora vamos usar a Derivada da Soma e da Subtração:

Y^' (u) = (u^(- 2) + u^(- 3)) . [(d)/(d u) u^5 - (d)/(d u) 2 u^2] + (u^5 - 2 u^2) . [(d)/(d u) u^(- 2) + (d)/(d u) u^(- 3)]

A constante pode sair de dentro da derivada. Se lembram?

Assim, temos:

Y^' (u) = (u^(- 2) + u^(- 3)) . [(d)/(d u) u^5 + 2 (d)/(d u) u^2] + (u^5 - 2 u^2) . [(d)/(d u) u^(- 2) + (d)/(d u) u^(- 3)]

Passo 3

Vamos relembrar da Regra da Potência...

Se n for um número real qualquer, então:

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

Assim, aplicando a regra da potência, temos:

Y^' (u) = (u^(- 2) + u^(- 3)) . [5 u^4 - 2.2 u] + (u^5 - 2 u^2) . [- 2 u^(- 3) - 3 u^(- 4)]

Reorganizando:

Y^' (u) = (u^(- 2) + u^(- 3)) . [5 u^4 - 4 u] - (u^5 - 2 u^2) . [2 u^(- 3) + 3 u^(- 4)]

Y^' (u) = 5 u ² - 4 u^(- 1) + 5 u - 4 u^(- 2) - ( 2 u^2 + 3 u - 4 u^(- 1) - 6 u^(- 2) )

Y^' (u) = 5 u ² - 4 u^(- 1) + 5 u - 4 u^(- 2) - 2 u^2 - 3 u + 4 u^(- 1) + 6 u^(- 2)

Concluindo:

Y^' (u) = 3 u ² + 2 u + 2 u^(- 2)

Resposta

Y^' (u) = 3 u ² + 2 u + 2 u^(- 2)

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