Derive a função:

Y(u) = (u^(-2) + u^(-3))(u^5 - 2u^2)

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar a seguinte função:

Y u = ( u - 2 + u - 3 ) ( u 5 - 2 u ² )

Para isso, precisaremos utilizar a regra do produto.

Sejam f e g duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre as duas funções é dada por:

f * g ' = f g ' + f ' g

Também precisaremos da regra da soma/subtração, que é dada por:

f ± g = f ' ± g '

Agora bora aplicar!!

Passo 2

Aplicando a Regra do Produto, temos:

Y ' ( u ) = ( u - 2 + u - 3 ) . d d u u 5 - 2 u ² + ( u 5 - 2 u ² ) . d d u ( u - 2 + u - 3 )

Agora vamos usar a Derivada da Soma e da Subtração:

Y ' u = u - 2 + u - 3 . d d u u 5 - d d u 2 u 2 + u 5 - 2 u 2 . d d u u - 2 + d d u u - 3

A constante pode sair de dentro da derivada. Se lembram?

Assim, temos:

Y ' u = u - 2 + u - 3 . d d u u 5 + 2 d d u u 2 + u 5 - 2 u 2 . d d u u - 2 + d d u u - 3

Passo 3

Vamos relembrar da Regra da Potência...

Se n for um número real qualquer, então:

d d x x n = n x n - 1

Assim, aplicando a regra da potência, temos:

Y ' u = u - 2 + u - 3 . 5 u 4 - 2.2 u + u 5 - 2 u 2 . - 2 u - 3 - 3 u - 4

Reorganizando:

Y ' u = u - 2 + u - 3 . 5 u 4 - 4 u - u 5 - 2 u 2 . 2 u - 3 + 3 u - 4

Y ' u = 5 u ² - 4 u - 1 + 5 u - 4 u - 2 - ( 2 u 2 + 3 u - 4 u - 1 - 6 u - 2 )

Y ' u = 5 u ² - 4 u - 1 + 5 u - 4 u - 2 - 2 u 2 - 3 u + 4 u - 1 + 6 u - 2

Concluindo:

Y ' u = 3 u ² + 2 u + 2 u - 2

Resposta

Y ' u = 3 u ² + 2 u + 2 u - 2

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