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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 51

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (x) = cos^2 x e g ( x ) = 1 . O intervalo de integração é [0 , pi] . Como a função g (x) >= f ( x ) para todo x pertencente ao intervalo de integração, a área da região em cinza é dada por:

A = int_0^(pi) 1 - cos^2 x d x

Como cos^2 x = (cos (2 x) + 1)/(2)

A = int_0^(pi) 1 - (1 + c o s ( 2 x ))/(2) d x

A = int_0^(pi) (1 - c o s ( 2 x ))/(2) d x

Passo 3

Agora, chegamos a uma integral que conseguimos calcular facilmente. Portanto, temos:

A = int_0^(pi) (1 - c o s ( 2 x ))/(2) d x = ([(x)/(2) - ((sen ( 2 x ))/(2))/(2)]|_0^(pi)

A = ((pi)/(2) - (sen 2 pi)/(4)) - ((0)/(2) - (sen 0)/(2))

A = (pi)/(2)

Resposta

A = (pi)/(2)

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