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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 1

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Vamos começar calculando a derivada primeira e segunda:

y ' = x 2 - x - 2

y ' ' = 2 x - 1

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = x 2 - x - 2 = x - 2 ( x + 1 ) = 0

x - 2 = 0 → x = 2

x + 1 = 0 → x = - 1

Esses são nossos pontos críticos.

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

y ' ' 2 = 3 > 0

y ' ' - 1 =   - 3 < 0

Então a função possui um ponto de máximo em x = - 1 e um ponto de mínimo em x = 2 .

Passo 3

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

y ' ' = 2 x - 1 > 0

y ' ' = 2 x > 1 → x > 1 2

Ou seja, a concavidade é para baixo em - ∞ , 1 2 e para cima em 1 2 ,   ∞ . O ponto de inflexão é 1 2 ,   - 3 4 .

Resposta

Ponto de máximo em x = - 1 e ponto de mínimo em x = 2 .

Concavidade para baixo em - ∞ , 1 2 e para cima em 1 2 ,   ∞ . O ponto de inflexão é 1 2 ,   - 3 4 .

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Use o gráfico dado de f para encontrar o seguinte:O maior intervalo aberto no qual f é crescenteO maior intervalo aberto no qual f é decrescenteO maior intervalo aberto no qual f é côncava para cimaO
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