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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 3

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Vamos começar calculando a derivada primeira e segunda:

y ' = 1 2 x 2 - 1   - 1 3   2 x = x x 2 - 1 - 1 3

y ' ' =   x 2 - 1 - 1 3 - x 1 3 x 2 - 1 - 4 3   2 x

y ' ' = 1 x 2 - 1 1 3 - 2 x 2 3 x 2 - 1 4 3 = ( x 2 - 3 ) 3 x 2 - 1 4 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = x x 2 - 1 - 1 3

x = 0      

x 2 - 1 - 1 3 = 0 → x 2 - 1 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1  

Esses são nossos pontos críticos.

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

y ' ' 0 =   - 1 < 0

y ' ' 1 = 0

y ' ' - 1 = 0

Então a função possui um ponto de máximo em x = 0 , porém nada podemos afirmar acerca de x = ± 1 pela derivada segunda (pois deu zero).

Porém, observe que f ± 1 = 0 , e pelo gráfico, esses são pontos mínimos da função.

Passo 3

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

y ' ' = ( x 2 - 3 ) 3 x 2 - 1 4 3 > 0

Observe que 3 x 2 - 1 4 3 é sempre positiva, para todo x ≠ 0 .

Vamos analisar somente ( x 2 - 3 ) então...

x 2 - 3 > 0 → x 2 > 3 → x > 3   e   x < - 3

Ou seja, a concavidade é para cima em - ∞ ,   - 3   e   3 ,   ∞ . E a concavidade é para baixo em   - 3 ,   3 . Os pontos de inflexão são ±   3 , 3 4 3 4 .

Resposta

Ponto de máximo em x = 0 e pontos de mínimo em x =   ± 1 .

Concavidade para baixo em - ∞ ,   - 3   e   3 ,   ∞   e para cima em - ∞ ,   - 3   e   3 ,   ∞ .. Os pontos de inflexão são ±   3 , 3 4 3 4 .

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