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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 59

Use um gráfico do integrando para conjecturar o valor da integral. Então, utilize os métodos desta seção para demonstrar que sua conjectura está correta.

∫ 0 2 π cos 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função no intervalo dado, que fica o seguinte

Tá lembrado o que é a integral? Não? Então vou te lembrar, a integral nada mais é do que a área embaixo de uma curva, mas você deve se lembrar que se o gráfico da função estiver no terceiro ou quarto quadrante do eixo cartesiano, estamos falando da área acima da curva, então se a gente olhar o gráfico podemos concluir que as áreas somadas no primeiro quadrando da exatamente o mesmo valor que a área acima do gráfico no quarto quadrante. Logo, matematicamente, podemos concluir o seguinte

∫ 0 2 π cos 3 ⁡ ( x ) d x = 0

Passo 2

Agora, vamos calcular esta integral analiticamente, pra isso, você precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1 , então, substituindo

∫ 0 2 π cos 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ( x ) cos ⁡ x d x = ∫ 0 2 π 1 - sin 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

Seja u = sin ⁡ x , temos que d u = cos ⁡ x d x , vamos calcular os novos limites de integração.

u i n f e r i o r = sin ⁡ 0 = 0

u s u p e r i o r = sin ⁡ 2 π = 0

∫ 0 0 1 - u 2 d u = 0

Resposta

∫ 0 2 π cos 3 ⁡ ( x ) d x = 0

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