Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 36
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.
36.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa sequência
E devemos decidir se ela converge ou diverge. Mas como fazer isso? Note que ela tem um termo do tipo
Esse termo faz com que o sinal dos termos seja alternado! E isso é ��timo, porque temos um teste que ajuda a gente! O do limite! Ele nos diz que o limite do módulo do termo geral indo para um número finito, então a sequência é convergente.
No caso de sequências alternadas, a parte do termo geral é sem esse termo alternador! Assim o limite
A ideia é aplicar esse limite na nossa sequência e verificar se converge para algum número! Bora começar?
Passo 2
Para fazermos o sumir, precisamos aplicar o módulo na sequência, e depois aplicarmos o limite, já que sabemos que se o valor absoluto da sequência converge, a própria sequência também converge:
Aplicando o módulo e o limite teremos:
E como todos os termos negativos passam a ser positivos, podemos escrever:
Passo 3
E agora para resolvermos a indeterminação , vamos pegar o maior grau de no denominador, no caso é , e colocamos ele em evidência:
Simplificando:
Colocando o para dentro da raiz naquele termo lá embaixo:
Que será o mesmo que:
Passo 4
Ao aplicarmos o limite, o termo tende a zero já que , e sobra:
Então a sequência converge para 1.
Resposta
converge