Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 59
Use o gráfico da sequência para decidir quando a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência é convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e, então, prove seu palpite. (Veja na nota de rodapé na página 699 para conselhos de gráficos de sequências.)
Passo 1
Beleza, galera? Vamos resolver essa questão de sequências.
Basicamente, o que precisamos fazer aqui é plotar o gráfico da nossa sequência e analisar para onde os valores dela vão se aproximando. Caso se aproximem de um valor fixo dizemos que essa sequência converge e analisando a curva vamos conjecturar que valor seria esse.
Depois, para provar nossa plapite, é só calcular o limite de e ver se faz sentido com nosso palpite inicial.
Galerinha, uma sequência tem limite se conseguirmos fazer os termos de chegarem mais próximos de usando um valor para suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.
Ah, e sobre a nota de rodapé na página 699, ela basicamente traz uma dica de como alguns sistemas de álgebra computacional nos permitem criar sequências e graficá-las diretamente. No entanto, com a maioria das calculadoras gráficas, as sequências podem ser graficadas utilizando equações paramétricas.
No nosso caso, usaremos o software GeoGebra, que já nos traz o gráfico diretamente quando utilizamos a função sequências.
Passo 2
Usando um software para plotar os pontos dessa sequência, temos:
Do gráfico, parece que a sequência é convergente! Ela parece convergir para um valor muito próximo de , conforme o valor de aumenta. Vamos verificar se isso é verdade!
Passo 3
Vamos resolver esse limite!
Nossa estratégia aqui é dividirmos o numerador e o denominador pela maior potência do denominador, que é . Dessa forma nós vamos ficar somente com um termo na nossa sequência em função de ao invés dos dois termos que temos agora. Note como a análise de um só termo vai ficar bem mais simples.
Agora podemos perceber mais facilmente que fica cada vez menor com crescendo infinitamente.
Portanto:
Agora, temos que o limite da constante é a própria constante, então:
Isso prova nossa conjectura inicial, já que , ou seja, valor muito próximo de 0,8.
Portanto, a série, de fato, é convergente e converge para .
Resposta
A sequência converge para.