Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 50
Use os guias desta seção para traçar a curva.
Passo 1
Faaala meus queridos, tudo certo?
Oi meus queridos, bora pra mais uma?
Nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
Verificar se há simetria ímpar, isso é:
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Seguindo o roteiro temos:
A) O domínio da função será os reais menos os pontos em que ln não está definido. Então não podemos ter números negativos e o zero:
B) Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x.
No eixo , temos , portanto:
Elevando pela exponencial em ambos os lados, temos:
No eixo , temos , portanto:
Dessa forma, temos que a função intercepta o eixo em e intercepta o eixo em , ou seja, a função passa pela origem .
C) Checando simetria:
Portanto, não há simetria na função.
D) Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
Assíntotas Horizontais:
Vamos lá:
(se quer faz sentido pensar no limite com tendendo a infinito negativo, afinal a função só é definida para ).
Logo, não temos assíntotas horizontais.
Para checar as assíntotas Verticais, devemos observar quando o termo dentro do tende a zero. Isto ocorre quando , isso é quando ele tende a pela direita. Como a função não é definida para , não faz sentido pensar em tendendo a pela esquerda.
Portanto, temos uma assíntota vertical quando
Passo 3
E) Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
A função dada é:
Vamos lá, derivando vamos aplicar uma regra da cadeia:
Fazendo um estudo de sinais dessa derivada, vemos que o fator é sempre positivo, portanto, quem irá ditar o sinal da derivada é o fator no denominador. A derivada será positiva quando esse fator for positivo.
Portanto, a função é crescente quando:
Crescente:
Esta função nunca será descrescente. Isso ocorre pois não há valores menores que que a função está definida (o domínio dessa função é , lembra).
F) Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de e avaliar se há troca de sinal de
Como vimos a derivada da função é sempre positiva em todo o domínio, portanto, não pontos de máximos ou mínimos.
Passo 4
G) Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.
Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando for igual a zero.
A primeira derivada da função é:
Derivando novamente para encontrar a segunda derivada, teremos aqui uma regra do quociente:
Para fatorar e nos ajudar a fazer o estudo de sinais, vou colocar em evidência no termo de cima:
Para fazer um estudo de sinais da segunda derivada, vamos ver como se comporta cada um dos fatores.
O fator no denominador é sempre positivo, pois está sendo elevado ao quadrado.
O fator será positivo quando:
E o fator será positivo quando:
Multiplicando ambos os lados por e assim tendo que inverter o sinal da desigualdade:
Agora, podemos fazer o seguinte estudo de sinais:
Logo, os intervalos são:
Passo 5
H.
Resposta
