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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 47

O centróide de uma curva pode ser encontrado por um processo similar ao usado para encontrar o centróide de uma região. Se C é uma curva com comprimento L , então o centróide é ( x - , y - ) onde x - = ( 1 / L ) ∫ x   d s e y - = ( 1 / L ) ∫ y   d s . Aqui nós atribuimos limites de integração apropriados, e d s é definido nas seções 8.1 e 8.2. (O centróide geralmente não fica na própria curva. Se a curva for feita de fio e colocada numa placa sem peso, o centróide seria o ponto de balanço na placa.) Encontre o centróide do quarto de círculo y = 16 - x 2 ,   0 ≤ x ≤ 4 .

Passo 1

Como a curva representa um quarto de círculo, seu comprimento é dado por:

L = 1 4 2 π 4 → L = 2 π

Agora vamos calcular a derivada da função y , lembrando de aplicar a regra da cadeia:

y ' = 1 2 16 - x 2 - 1 2 - 2 x → y ' = - x 16 - x 2

Dessa forma, podemos calcular o valor de d s , que é dado por:

d s = 1 + y ' 2 d x = 1 + - x 16 - x 2 2 d x = 1 + x 2 16 - x 2 d x

Tirando o mínimo múltiplo comum dentro da raiz, temos:

d s = 16 - x 2 + x 2 16 - x 2 d x = 16 16 - x 2 d x → d s = 4 16 - x 2 d x

Passo 2

Dessa forma, podemos calcular o centróide da curva, começando por x - :

x - = 1 L ∫ x   d s = 1 2 π ∫ 0 4 4 x 16 - x 2 - 1 / 2

Resolvendo a integral, temos:

2 π - 16 - x 2 1 2 0 4

Substituindo os limites de integração:

2 π - 16 - 4 2 1 2 + 16 - 0 1 2 = 2 π ( 0 - 4 )

Então x - é:

x - = 8 π

Passo 3

Agora para a coordenada y - :

y - = 1 L ∫ y   d s = 1 2 π d x = 1 2 π ∫ 0 4 16 - x 2 . 4 16 - x 2 d x = 2 π ∫ 0 4 d x

Resolvendo a integral, temos:

2 π x 0 4

Substituindo os limites de integração:

2 π 4 - 0

Então y - é:

y - = 8 π

E o centróide está localizado em:

x - , y - = 8 π ; 8 π

Resposta

x - , y - = 8 π ; 8 π

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