Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 51

Prove as fórmulas 9.

Passo 1

Para provar as fórmulas 9, vamos pegar uma região para análise que fica entre duas curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) , onde f (x) >= g ( x ) .

Vamos também escolher pontos x_i com a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b e escolher x_i^* para ser o ponto intermediário no i-ésimo subintervalo, dessa forma, temos:

x_i^* = overset(-)(x)_i = (1)/(2) (x_i + 1 + x_i)

Então, o centróide do i-ésimo retângulo R_i é dado por:

C_i = (overset(-)(x)_i , (1)/(2) [f (overset(-)(x)_i) + g (overset(-)(x)_i)])

A sua área é:

A = [f (overset(-)(x)_i) - g (overset(-)(x)_i)] Delta x

Passo 2

Então podemos encontrar a massa do retângulo multiplicando a área anterior pela densidade:

m = rho [f (overset(-)(x)_i) - g (overset(-)(x)_i)] Delta x

Sendo assim, o momento de massa M_y é dado por:

M_y (R_i) = rho [f (overset(-)(x)_i) - g (overset(-)(x)_i)] Delta x . overset(-)(x)_i

Da mesma forma M_x é dado por:

M_x (R_i) = rho [f (overset(-)(x)_i) - g (overset(-)(x)_i)] Delta x . (1)/(2) [f (overset(-)(x)_i) - g (overset(-)(x)_i)]

M_x = rho . (1)/(2) [f (overset(-)(x)_i)^2 - g (overset(-)(x)_i)^2] Delta x

Passo 3

Aplicando a soma de Riemann para M_y e M_x , obtemos:

M_y = underset(n -> oo)(lim) underset(i)(sum) rho overset(-)(x)_i [f (overset(-)(x)_i) - g (overset(-)(x)_i)] Delta x = rho int_a^b x [f (x) - g (x)] d x

M_x = underset(n -> oo)(lim) underset(i)(sum) rho (1)/(2) [f (overset(-)(x)_i)^2 - g (overset(-)(x)_i)^2] Delta x = rho int_a^b (1)/(2) [f (x)^2 - g (x)^2] d x

Sendo assim, overset(-)(x) é dado por:

overset(-)(x) = (M_y)/(m) = (M_y)/(rho A) = (1)/(A) int_a^b x [f (x) - g (x)] d x

E, da mesma forma, overset(-)(y) é dado por:

overset(-)(y) = (M_x)/(m) = (M_x)/(rho A) = (1)/(A) int_a^b (1)/(2) [f (x)^2 - g (x)^2] d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

43 - Deduza a fórmula do volume de um cone circular reto de altura h e raio r usando um sólido de revolução adequado.
42 – Um bolo em forma de anel é formado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pleo gráfico de y = s e n ( x 2 - 1 ) e pelo eixo x ao longo do intervalo 1 ≤ x ≤1 + π . Determine o volume d
48- Determine o volume do sólido da região limitada pelos gráficos de y = e x 2 , y = 1 e x = ln ⁡ 3 obtido com a rotação do eixo x .
47- Determine o volume do sólido da região limitada pelos gráficos de y = e - x 2 , y = 0 , x = 0 e x = 1 obtido com a rotação em torno do eixo y .
46- A região entre a curva y = sec - 1 ⁡ x e o eixo x de x = 1 até x = 2 (mostrada aqui) é girada em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.