Prove as fórmulas 9.

Passo 1

Para provar as fórmulas 9, vamos pegar uma região para análise que fica entre duas curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) , onde f x ≥ g ( x ) .

Vamos também escolher pontos x i com a = x 0 < x 1 < … < x n = b e escolher x i * para ser o ponto intermediário no i-ésimo subintervalo, dessa forma, temos:

x i * = x - i = 1 2 x i + 1 + x i

Então, o centróide do i-ésimo retângulo R i é dado por:

C i = x - i , 1 2 f x - i + g x - i

A sua área é:

A = f x - i - g x - i Δ x

Passo 2

Então podemos encontrar a massa do retângulo multiplicando a área anterior pela densidade:

m = ρ f x - i - g x - i Δ x

Sendo assim, o momento de massa M y é dado por:

M y R i = ρ f x - i - g x - i Δ x . x - i

Da mesma forma M x é dado por:

M x R i = ρ f x - i - g x - i Δ x . 1 2 f x - i - g x - i

M x = ρ . 1 2 f x - i 2 - g x - i 2 Δ x

Passo 3

Aplicando a soma de Riemann para M y e M x , obtemos:

M y = lim n → ∞ ⁡ ∑ i ρ x - i f x - i - g x - i Δ x = ρ ∫ a b x f x - g x d x

M x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i ρ 1 2 f x - i 2 - g x - i 2 Δ x = ρ ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Sendo assim, x - é dado por:

x - = M y m = M y ρ A = 1 A ∫ a b x f x - g x d x

E, da mesma forma, y - é dado por:

y - = M x m = M x ρ A = 1 A ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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