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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 51

Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.

∫ ln ⁡ x n d x = x ln ⁡ x n - n ∫ ln ⁡ x n - 1 d x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos que provar que:

∫ ln ⁡ x n d x = x ln ⁡ x n - n ∫ ln ⁡ x n - 1 d x

Vamos usar Integração por Partes na parte esquerda da igualdade para chegar na parte direita:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Pra escolher quem vai ser u e d v usamos a seguinte ordem de prioridade:

Vamos fazer então u = ln ⁡ x n e d v = d x :

d u = n ln ⁡ x n - 1 1 x   d x e v = x

Passo 2

Vamos substituir agora:

∫ ln ⁡ x n d x = ln ⁡ x n x - ∫ x   n ln ⁡ x n - 1 1 x   d x

= x ln ⁡ x n - ∫   n ln ⁡ x n - 1   d x

n é uma constante, então:

= x ln ⁡ x n - n ∫   ln ⁡ x n - 1   d x

Pronto, chegamos na parte direita da igualdade.

∫ ln ⁡ x n d x = x ln ⁡ x n - n ∫ ln ⁡ x n - 1 d x

Resposta

Demonstração.

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