Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 53

Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral.

∫ ln ⁡ ( x 2 - x + 2 )   d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo.

Yuri aqui e estarei te ajudando nessa resolução.

A questão pede para calcularmos a integral usando inicialmente integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar u = ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) e d v = d x .

Passo 2

Assim,

v = x

e

d u = 2 x - 1 x 2 - x + 2   d x

Portanto,

∫ ln ⁡ ( x 2 - x + 2 )   d x = x ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) - ∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x

Nosso foco agora é calcular a integral ∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x .

Vamos começar dividindo o numerador pelo denominador:

2 x 2 - x = 2 x 2 - x + 2 + x - 4

Assim,

2 x 2 - x x 2 - x + 2 = 2 + x - 4 x 2 - x + 2

Vamos brincar agora com a segunda parte. Completando o quadrado do denominador:

x 2 - x + 2 = x 2 - x + 1 4 + 2 - 1 4 = x - 1 2 2 + 7 4

Portanto,

∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x = 2 x + ∫ x - 4 x - 1 2 2 + 7 4 d x

Passo 3

Para calcular a integral que sobrou, vamos fazer

u = x - 1 2

x = u + 1 2

x - 4 = u - 7 2

Assim,

∫ x - 4 x - 1 2 2 + 7 4 d x = ∫ u - 7 2 u 2 + 7 4   d u

= ∫ u u 2 + 7 4   d u - 7 2 ∫ 1 u 2 + 7 4   d u

∫ u u 2 + 7 4 d u

Chamando de s = u 2 + 7 4 d s = 2 u d u

1 2 ∫ d s s

1 2 ln ⁡ s

Agora voltando as variáveis originais

1 2 ln ⁡ u 2 + 7 4

1 2 ln ⁡ x - 1 2 2 + 7 4

E agora para

∫ d u u 2 + 7 4

∫ d u u 2 + 7 2 2

Com ajuda da tabela abaixo:

= 7 a r c t g 2 x - 1 2 7

Portanto,

∫ x - 4 x - 1 2 2 + 7 4 d x =

= 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 2 - 7 a r c t g   2 x - 1 2 7

Assim,

∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x = 2 x + 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 2 - 7 a r c t g   2 x - 1 2 7

Passo 4

Assim, como

∫ ln ⁡ x 2 - x + 2   d x

= x ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) - ∫ 2 x 2 - x x 2 - x + 2 d x

Temos que

∫ ln ⁡ ( x 2 - x + 2 )   d x = x ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) - 2 x - 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 2 + 7 a r c t g   2 x - 1 2 7

Resposta

x ln ⁡ ( x 2 - x + 2 ) - 2 x - 1 2 ln ⁡ x 2 - x + 2 + 7 a r c t g   2 x - 1 2 7 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro ∫ x x 2 + 4 x + 3d x
Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro ∫ d x x x - 1 2
Calcule a integral.
Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.
Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.