Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido delimitado pelo cilindro x = y^2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bacana?

A questão aqui pede que a gente calcule o volume do sólido delimitado pelo cilindro

x = y 2

e pelos planos

z = 0 e x + z = 1

Para calcular o volume de um sólido, precisamos calcular a integral:

V = ∭ E   d V

Onde E é a região de integração do sólido no plano x y e

d V = d x   d y   d z

Então, o que falta para calcularmos nossa integral tripla são os limites de integração para cada uma das variáveis, e isso a gente consegue entendendo a descrição da região E que o enunciado nos deu.

Com isso em mãos, é só a gente calcular a integral tripla de forma iterada, onde começamos pela “de dentro”, até chegarmos na última integral de fora. Assim, vamos ter o volume do sólido que procuramos.

Vamos, então?

Passo 2

Vamos começar achando nosso limite de integração.

Podemos achar de cara a variação de z isolando-o na equação do plano x + z = 1

z = 1 - x

Como temos como limitantes da região o plano z = 0 , sabemos que zero é o valor mínimo para z , então ficamos com:

0 ≤ z ≤ 1 - x

Para as outras duas variáveis, vamos ter que analizar x = y 2 e a intersecção do plano x + z = 1 com z = 0 , essa intersecção é

x = 1

Olhando no plano temos

Reta x = 1 e curva x = y 2

Então a variação de x vai ser

y 2 ≤ x ≤ 1

e a de y , quando x = 1 , na intersecção y = ± 1 , ou seja, o intervalo é

- 1 ≤ y ≤ 1

Passo 3

Montando nossa integral, temos:

V = ∭ E 1   d V = ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x 1   d z d x d y

Sempre colocamos as integrais com limites que dependem de variáveis para dentro, para facilitar nosso cálculo. Vamos começar integrando em z e aplicando os limites de integração:

∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x 1   d z d x d y = ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 1 - x d x d y

Agora calculando em função de x :

= ∫ - 1 1 x - x 2 2 y 2 1 d y

Aplicando os limites de integração:

= ∫ - 1 1 1 - 1 2 - y 2 - y 4 2 d y

Agora integramos nossa integral que restou:

= ∫ - 1 1 1 2 - y 2 + y 4 2 d y

Calculando seus limites:

= y 2 - y 3 3 + y 5 10 - 1 1 = 2 1 2 - 1 3 + 1 10

Simplificando:

= 2 15 - 10 + 3 30 = 8 15

Chegamos no volume que procurávamos!

V = 8 15

Resposta

V = 8 15

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