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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.5 - Ex. 17c

Escrever na forma de uma integral tripla iterada:

∫ ∫ ∫ T f d V

Onde T é delimitada por x 2 + z 2 = a 2 ,   y 2 + z 2 = a 2

Passo 1

Lembra que na integral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção e isso é justamente iterar a nossa integral tripla.

Passo 2

Nesse exercício estamos tratando de dois cilindros um perpendicular ao plano y = 0 e o outro perpendicular ao plano x = 0, logo estamos tratando da região fechada de interseção entre os cilindros

Portanto, seus limites são :

- a ≤ x ≤ a

- a 2 - z 2 ≤ y ≤ a 2 - z 2

- a 2 - x 2 ≤ z ≤ a 2 - x 2

Passo 3

Agora vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T f d V =   ∫ - a a ∫ - a 2 - z 2 a 2 - z 2 ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 f d z d y d x

Resposta

∫ - a a ∫ - a 2 - z 2 a 2 - z 2 ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 f d z d y d x

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