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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 21

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

21- Abaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 9

Passo 1

Quando se faz volume de algum sólido entre uma área plana e uma altura igual a f ( x , y ) você faz a integral:

V = ∫ ∫ D f x , y d A

Onde D são os limites das coordenadas polares da área plana e f ( x , y ) a equação da figura geométrica que forma algum tipo de altura no eixo z .

Passo 2

Vamos para as coordenadas polares da região D , o círculo x 2 + y 2 ≤ 9 tem raio igual a 3 e que sai da origem logo:

0 ≤ r ≤ 3

E θ percorre o círculo inteiro então vai de:

0 ≤ θ ≤ 2 π

E f ( x , y ) é a equação do paraboloide, já que a área vai do disco até ele, logo a integral fica:

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 π x 2 + y 2 d A

Mas em coordenadas polares temos:

x = r c o s   θ ;     y = r sin ⁡ θ

Logo:

( r 2 cos 2 ⁡ θ ) + ( r 2 sin 2 ⁡ θ ) = r 2

E

d A = r   d r   d θ

Logo a integral polar fica:

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 π r 2 r   d r   d θ

Passo 3

Realizando essa integral teremos:

V = ∫ 0 3 ∫ 0 2 π r 3   d r   d θ = θ 0 2 π × r 4 4 0 3 = 2 π 4 × 3 4 = 81 π 2

Resposta

V = 81 π 2

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A integral iterada representa o volume de um sólido. Descrever o sólido. ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 1 .y = x 2 ,y = 4 ,z = 0 e z = 4
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 3 .z = 1 - x 2 ,z = 0 ,x + y = 4 e y = 0
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 6 .z = x 2 + 1 ,z = 0 ,y = 0 ,x = 0 ,x = 4 e y = 5
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 10 .z = 0 ,x 2 + y 2 = 16 e z = 10 + x