Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 49
- Use a regra do ponto médio para as integrais duplas (veja a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área de superfície da parte do paraboloide que está acima do quadrado .
- Use um sistema algébrico computacional para aproximar a área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta da parte (a).
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo certo?
A questão tem duas partes. A parte a) pede para usarmos a regra do ponto médio para integrais duplas para achar a área de superfície do paraboloide
Que está acima do quadrado . A regra do ponto médio para integrais duplas é dada pela equação:
Ou seja, a integra dupla de uma função numa região é igual a soma da função no ponto médio de cada sub região de multiplicada pela área de cada sub-região. Para calcular a área de uma superfície, temos:
Então, nossa função será:
Ou seja, vamos dividir nosso quadrado em 4 quadrados, achar os pontos médios de cada um, aplicar a função nesse ponto e a área desse quadradinho. Fazemos isso pros 4 quadradinhos e somamos tudo. Assim, vamos ter um valor próximo ao que teríamos calculando a integral dupla diretamente, como faremos na parte b).
Para a parte é só usarmos uma calculadora ou software para obtermos o cálculo da integral dupla da área e compararmos esse valor com o valor que obtemos na parte a) da questão.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo os pontos médios. Como o quadrado é:
Dividindo esse quadrado por 4 cada ponto central vai ter medida nas duas dimensões, já que estamos pegando a metade de um quadrado de lado .
Como o quadrado tem canto na origem, as coordenadas dos pontos médios dos quatro quadrados são:
Agora podemos calcular nossa função:
Vamos achar as derivadas parciais do paraboloide
Então, vamos primeiro, encontrar as derivadas parciais da função:
Agora, substituindo na formulinha, temos que nossa integral dupla é:
E nossa função é:
Passo 3
Vamos achar a área de cada um dos quatro quadrados. Como todos tem lado de , temos:
Agora para acharmos a área pela regra do ponto médio, é só somarmos a função nos pontos médios, multiplicada pela área, que será igual para os 4 quadrados, então podemos pôr em evidência.
Nos pontos:
Multiplicando:
Aplicando tudo na equação:
Fazendo as contas:
Passo 4
- Calculando nosso caso aqui como uma integral dupla, temos:
Isso concorda com a estimativa do ponto médio apenas na primeira casa decimal, depois os valores começam a diferir.