Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 19
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
E aí, campeão dos cálculos! Preparado para mais um desafio matemático? Mãos à obra!
Para solucionar essa questão, vamos determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
Para calcular esse volume, vamos calcular a integral
Mas antes precisamos estabelecer os limites de integração:
O plano dado é . Isolando na equação do plano:
Portanto os limites de será de até.
Para encontrar os limites de , consideramos a interseção do plano com :
Isolando temos
Assim, os limites de será de até .
E irá variar de até , pois é o intervalo que o plano intersecta o plano .
Então
Passo 2
A integral tripla para calcular o volume é dada por:
Vamos integrar na ordem , , :
Resolvendo a integral interna em relação a :
Substituindo na integral intermediária e integrando em relação a :
Avaliando os limites:
Simplificando:
Substituindo na integral externa e integrando em relação a :
Avaliando os limites:
Resposta
Portanto, o volume do tetraedro é .