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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 9

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

f x ,   y ,   z = x 2 y z - x y z 3 ,   P 2 ,   - 1 ,   1 ,   u =   0 , 4 5 ,   - 3 5

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntinhos aqui.

Temos a função:

f x ,   y ,   z = x 2 y z - x y z 3

E queremos encontrar o seu gradiente ∇ f x , y , z , para isso deveremos fazer:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Isso mesmo, calcular as derivadas parciais. Depois disso, iremos encontrar o valor desse gradiente em:

P 2 ,   - 1 ,   1

Fazemos isso substituindo esse ponto da equação para ∇ f que iremos encontrar.

Por ultimo iremos encontrar a taxa de variação de f em P na direção do vetor:

u =   0 , 4 5 ,   - 3 5

Para fazermos isso iremos:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ⋅ u

Realizar esse produto escalar entre os vetores.

Passo 2

a) Antes de resolvermos tudo, vamos reescrever esse vetor u nas coordenadas i ,   j e k que conhecemos, tudo bem? Convertendo, teremos:

  u = 0 , 4 5 ,   - 3 5 = 0 i + 4 5 j - 3 5 k

O gradiente de f é calculado da seguinte forma:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Sendo assim, para determinarmos o gradiente precisamos encontrar as derivadas parciais em relação às variáveis que temos. Encontrando essas derivadas:

f x ,   y ,   z = x 2 y z - x y z 3

Vamos derivar apenas em relação a x para encontrar f x :

f x ,   y ,   z = x 2 y z - x y z 3

∂ f ∂ x = 2 x y z - y z ³

Vamos derivar apenas em relação a y para encontrar f y :

f x ,   y ,   z = x 2 y z - x y z 3

∂ f ∂ y = x 2 z - x z ³

Vamos derivar apenas em relação a z para encontrar f z :

f x ,   y ,   z = x 2 y z - x y z 3

∂ f ∂ z = x 2 y - 3 x y z 2

Substituindo as derivadas parciais no gradiente:

∇ f x ,   y ,   z = 2 x y z - y z 3 i + x 2 z - x z 3 j + x 2 y - 3 x y z 2 k

Passo 3

b) Poxa, e como fazemos para calcular o gradiente no ponto em questão? É tranquilão pessoal, basta substituirmos o ponto nas nossas variáveis, saca só:

P ( 2 ,   - 1 ,   1 )

∇ f x ,   y ,   z = 2 x y z - y z 3 i + x 2 z - x z 3 j + x 2 y - 3 x y z 2 k

∇ f 2 ,   - 1 ,   1 = 2 ⋅ 2 - 1 ⋅ 1 - - 1 ⋅ 1 3 i + 2 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 3 j + 2 2 ⋅ - 1 - 3 ⋅ 2 - 1 ⋅ 1 2 k

∇ f 2 ,   - 1 ,   1 = - 3 i + 2 j + 2 k

Passo 4

c) Por fim, para determinarmos a taxa de variação da função em questão, no ponto em questão e na direção de um vetor u qualquer, devemos fazer:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z ⋅ u

Como o gradiente no ponto já foi calculado no passo anterior e nosso vetor é:

u = 0 i + 4 5 j - 3 5 k

Se substituirmos na expressão que acabamos de escrever para determinar a taxa de variação da função, teremos:

D u f 2 ,   - 1 ,   1 = - 3 i + 2 j + 2 k ⋅ 0 i + 4 5 j - 3 5 k

D u f 2 ,   - 1 ,   1 = 0 + 8 5 - 6 5

D u f 2 ,   - 1 ,   1 = 2 5

Resposta

a) ∇ f x ,   y ,   z = 2 x y z - y z 3 i + x 2 z - x z 3 j + x 2 y - 3 x y z 2 k

b) ∇ f 2 ,   - 1 ,   1 = - 3 i + 2 j + 2 k

c) D u f 2 ,   - 1 ,   1 = 2 5

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