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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 72

Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x -> oo^())(lim) ((x^3)/(x^2 - 1) - (x^3)/(x^2 + 1))

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’hospital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> oo^())(lim) ((x^3)/(x^2 - 1) - (x^3)/(x^2 + 1)) = underset(x -> oo^())(l i m) oo - oo

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido não está forma que desejamos, então antes de aplicar Lh’hospital devemos dá uma modificada. Ou seja, vamos abrir essas contas para deixar (0)/(0) ou (oo)/(oo)

underset(x -> oo^())(lim) ((x^3)/(x^2 - 1) - (x^3)/(x^2 + 1)) = underset(x -> oo^())(l i m) (x^3 (x^2 + 1) - x^3 (x^2 - 1))/(x^4 - 1) = underset(x -> oo^())(l i m) (x^3 ( (x^2 + 1) - (x^2 - 1) ))/(x^4 - 1)

Dividindo pelo monômio de maior potência,

underset(x -> oo^())(l i m) (x^3 ( (x^2 + 1) - (x^2 - 1) ))/(x^4 - 1) = underset(x -> oo^())(l i m) (2 x^3)/(x^4 - 1) = underset(x -> oo^())(l i m) ((2 x^3)/(x^4))/((x^4)/(x^4) - (1)/(x^4)) = underset(x -> oo^())(l i m) ((2)/(x))/(1 - (1)/(x^4)) = 0

Resposta

underset(x -> oo^())(lim) ((x^3)/(x^2 - 1) - (x^3)/(x^2 + 1)) = 0

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Calculeg) underset(x - 0^+)(lim) (1 - cos x) ln x
Calculeb) underset(x - 0^+)(lim) (x^2 + t g^3 x)/(s e n^3 x)
Calculen) underset(x - + oo)(lim) x^3 e^(- 4 x)
Calculei) underset(x - 0^+)(lim) [(1)/(x) + ln x]
Calculed) underset(x - + oo)(lim) (e^(3 x))/(x^2)