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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1i

Calcule

i) underset(x -> 0^+)(lim) [(1)/(x) + ln x]

Passo 1

Podemos reescrever o limite assim:

underset(x -> 0^+)(lim) [(1)/(x) + ln x] = underset(x -> 0^+)(lim) [ln (e^((1)/(x))) + ln x] = underset(x -> 0^+)(lim) ln (x e^((1)/(x))) = ln (underset(x -> 0^+)(lim) x e^((1)/(x)))

Porém, note que underset(x -> 0^+)(lim) x e^((1)/(x)) tem uma indeterminação do tipo “ 0 * oo ”.

Passo 2

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, assim:

underset(x -> 0^+)(lim) x e^((1)/(x)) = underset(x -> 0^+)(lim) (e^((1)/(x)))/((1)/(x)) = underset(x -> 0^+)(lim) ((e^((1)/(x)))^')/(((1)/(x))^') = underset(x -> 0^+)(lim) (e^((1)/(x)) (- (1)/(x^2)))/(- (1)/(x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) e^((1)/(x))

Repare que substituindo x = 0^+ , não há mais indeterminação:

underset(x -> 0^+)(lim) e^((1)/(x)) -> e^((1)/(0)) -> e^(+ oo) -> + oo

Logo,

underset(x -> 0^+)(lim) [(1)/(x) + ln x] = ln (underset(x -> 0^+)(lim) x e^((1)/(x))) -> ln (+ oo) -> + oo

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) [(1)/(x) + ln x] = + oo

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