Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x -> (pi)/(2)^-)(lim) sec (7 x) cos (3 x)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’hospital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> oo^())(lim) (sqrt(x^2 + x + 1) - sqrt(x^2 - x)) = underset(x -> oo^())(lim) sqrt(x^2 + x + 1) - underset(x -> oo^())(l i m) sqrt(x^2 - x) = sqrt(underset(x -> oo^())(l i m) ( x^2 + x + 1 )) - sqrt(underset(x -> oo^())(l i m) ( x^2 - x )) = oo - oo

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido não está forma que desejamos, então antes de aplicar Lh’hospital devemos dá uma modificada. Ou seja, vamos abrir essas contas para deixar (0)/(0) ou (oo)/(oo)

underset(x -> oo^())(lim) (sqrt(x^2 + x + 1) - sqrt(x^2 - x))

underset(x -> oo^())(= lim) (sqrt(x^2 + x + 1) - sqrt(x^2 - x)) * ((sqrt(x^2 + x + 1) + sqrt(x^2 - x))/(sqrt(x^2 + x + 1) + sqrt(x^2 - x)))

= underset(x -> oo^())(l i m) (((x^2 + x + 1) - (x^2 - x)))/(sqrt(x^2 + x + 1) + sqrt(x^2 - x))

= underset(x -> oo^())(l i m) (1)/(sqrt(x^2 + x + 1) + sqrt(x^2 - x)) = 0

Resposta

underset(x -> oo^())(lim) (sqrt(x^2 + x + 1) - sqrt(x^2 - x)) = 0

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Calculec) underset(x - + oo)(lim) (e^(2 x))/(x^3)
Calculeb) underset(x - 1)(lim) (x^(100) - x^2 + x - 1)/(x^(10) - 1)
Calculef) underset(x - 0^+)(lim) sen x ln x
Calculea) underset(x - 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1)
Calculec) l i m_x - 0^+ x e^((1)/(x))