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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 71

Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x -> (pi)/(2)^-)(lim) sec (7 x) cos (3 x)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’hospital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> oo^())(lim) (sqrt(x^2 + x + 1) - sqrt(x^2 - x)) = underset(x -> oo^())(lim) sqrt(x^2 + x + 1) - underset(x -> oo^())(l i m) sqrt(x^2 - x) = sqrt(underset(x -> oo^())(l i m) ( x^2 + x + 1 )) - sqrt(underset(x -> oo^())(l i m) ( x^2 - x )) = oo - oo

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido não está forma que desejamos, então antes de aplicar Lh’hospital devemos dá uma modificada. Ou seja, vamos abrir essas contas para deixar (0)/(0) ou (oo)/(oo)

underset(x -> oo^())(lim) (sqrt(x^2 + x + 1) - sqrt(x^2 - x))

underset(x -> oo^())(= lim) (sqrt(x^2 + x + 1) - sqrt(x^2 - x)) * ((sqrt(x^2 + x + 1) + sqrt(x^2 - x))/(sqrt(x^2 + x + 1) + sqrt(x^2 - x)))

= underset(x -> oo^())(l i m) (((x^2 + x + 1) - (x^2 - x)))/(sqrt(x^2 + x + 1) + sqrt(x^2 - x))

= underset(x -> oo^())(l i m) (1)/(sqrt(x^2 + x + 1) + sqrt(x^2 - x)) = 0

Resposta

underset(x -> oo^())(lim) (sqrt(x^2 + x + 1) - sqrt(x^2 - x)) = 0

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Calculeb) lim x → 1 ⁡ x 100 - x 2 + x - 1 x 10 - 1
Calculef) lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ x
Calculea) underset(x - 1^-)(lim) (x^4 - 2 x^3 + 2 x - 1)/(x^2 - 2 x + 1)
Calculec) l i m x → 0 + x e 1 x
Calculeg) lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ln ⁡ x