Enunciado

Determine o limite ou explique porque ele não existe lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x  

Passo 1

Observando o limite, dá pra perceber que vamos precisar de algumas regrinhas, então vamos já relembrando antes de iniciar, blz ?

Partiu ?

Como temos uma divisão, precisamos usar a regra do quociente, ou seja,

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x   =   l i m x → 2 ( x 2 - 4 x + 4 ) l i m x → 2 ( x 3 + 5 x - 14 x )  

Usando as regras da soma e da subtração,

l i m x → 2 ( x 2 - 4 x + 4 ) l i m x → 2 ( x 3 + 5 x - 14 x )   =   l i m x → 2 x 2 - l i m x → 2 4 x + l i m x → 2 4 l i m x → 2 x 3 + l i m x → 2 5 x - l i m x → 2 14 x  

Substituindo os valores,

l i m x → 2 x 2 - l i m x → 2 4 x + l i m x → 2 4 l i m x → 2 x 3 + l i m x → 2 5 x - l i m x → 2 14 x   = 0 0  

Temos uma indeterminação. Então vamos tentar consertar nossa função para valores de x ≠ 2

Usando Bhaskara no numerador, podemos encontrar as raízes e lembrar que ( x 2 - 4 x + 4 ) = x - 2 x - 2   .

Já no denominador, pondo x em evidencia e depois usando Bhaskara, x 3 + 5 x - 14 x =   x x + 7 x - 2   .  

Substituindo no nosso limite,

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x   = l i m x → 2 x - 2 x - 2 x x + 7 x - 2 =   l i m x → 2 x - 2 x x + 7 =   0 2 ⋅ 14   = 0

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 3 + 5 x - 14 x   = 0

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