Use Lh’ospital o limite underset(x -> 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1) = (2^(- s e n 0) - 1)/(e^0 - 1) = (1 - 1)/(1 - 1) = (0)/(0)

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

underset(x -> 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1) = underset(x -> 0)(l i m) ((ln (2) 2^(- s e n x) * (- c o s x)))/(e^x) = underset(x -> 0)(l i m) (- l n 2 c o s x 2^(- s e n x))/(e^x)

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

underset(x -> 0)(l i m) (- l n 2 c o s x 2^(- s e n x))/(e^x) = (- l n 2 c o s 0 2^0)/(e^0) = - l n 2

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1) = - l n 2

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