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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 76

Use Lh’ospital o limite underset(x -> 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1) = (2^(- s e n 0) - 1)/(e^0 - 1) = (1 - 1)/(1 - 1) = (0)/(0)

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

underset(x -> 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1) = underset(x -> 0)(l i m) ((ln (2) 2^(- s e n x) * (- c o s x)))/(e^x) = underset(x -> 0)(l i m) (- l n 2 c o s x 2^(- s e n x))/(e^x)

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

underset(x -> 0)(l i m) (- l n 2 c o s x 2^(- s e n x))/(e^x) = (- l n 2 c o s 0 2^0)/(e^0) = - l n 2

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1) = - l n 2

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Ilustre a regra de L’Hospital fazendo o gráfico de f x / g ( x ) e f ' x / g ' ( x ) próximo de x = 0 , para ver que essas razões têm o mesmo limite quando x → 0 . Calcule também o valor exato do limi
Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato. lim x → 0 ⁡ 5 x - 4 x 3 x - 2 x
Demonstre que lim x → ∞ ⁡ e x x n = ∞ para todo n inteiro positivo. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de x .
A primeira aparição impressa da regra de L’Hospital foi no livro Analyse des Infiniment Petits publicado pelo marquês de L’Hospital em 1696. Este foi o primeiro livro texto de cálculo a ser publicado
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