Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.

lim x → 0 ⁡ 5 x - 4 x 3 x - 2 x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos o limite:

lim x → 0 ��� 5 x - 4 x 3 x - 2 x

E a primeira coisa que devemos fazer é estimar esse limite a partir de um gráfico. Aqui é muito simples, vamos plotar a função:

5 x - 4 x 3 x - 2 x

E localizar o ponto x = 0 .

Depois disso precisamos calcular o limite na marra usando a regra de L’Hospital pra encontrar o valor exato! Essa regra diz que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Só que só podemos usar essa regra quando temos uma indeterminação do tipo:

0 / 0     o u     ∞ / ∞

Então primeiro vamos substituir o valor de x na função pra verificar se podemos usar essa regra de cara. Se a gente não encontrar essa indeterminação precisamos, primeiro, manipular a nossa função!

Vamos lá?!

Passo 2

Vamos começar esboçando o gráfico de :

5 x - 4 x 3 x - 2 x

Vamos reter nossa atenção no entorno de x = 0 . Note que a função se aproxima de 0,55 .

Vamos usar isso como estimativa para o limite!

Passo 3

Nosso próximo objetivo é calcular o valor exato do limite:

lim x → 0 ⁡ 5 x - 4 x 3 x - 2 x = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Dessa forma, podemos aplicar a amada regra de L’Hospital!!!

Passo 4

Antes de aplicar a regra temos que lembrar da seguinte derivada:

a x ' = a x ⋅ ln ⁡ a

Temos então que:

lim x → 0 ⁡ 5 x - 4 x 3 x - 2 x = lim x → 0 ⁡ 5 x ln ⁡ 5 - 4 x ln ⁡ 4 3 x ln ⁡ 3 - 2 x ln ⁡ 2

Calculando:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 5 - ln ⁡ 4 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ 5 - ln ⁡ 4 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

Podemos simplificar, lembrando da propriedade:

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Então:

ln ⁡ 5 - ln ⁡ 4 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ ( 5 / 4 ) ln ⁡ ( 3 / 2 ) ≈ 0,55

Vemos assim que nossa estimativa foi muito boa!!!

Resposta

ln ⁡ ( 5 / 4 ) ln ⁡ ( 3 / 2 )

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