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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 61

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.

y = cos ⁡ π x 2 ,   y = 0 ,   0 ≤ x ≤ 1 ; e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Como x varia entre 0 e 1 , nosso volume será:

V = ∫ 0 1 2 π x cos ⁡ π x 2 d x

Passo 2

Usaremos a substituição para resolver, então

u = x ,   d v = cos ⁡ π x 2 d x → d u = d x ,   v = 2 π se n ⁡ π x 2

Passo 3

Agora a gente finaliza substituindo em V :

V = 2 π 2 π se n ⁡ π x 2 0 1 - 2 π 2 π ∫ 0 1 se n ⁡ π x 2 d x = 2 π 2 π - 0 - 4 - 2 π cos ⁡ π x 2 0 1 =

4 + 8 π 0 - 1 = 4 - 8 π

Resposta

V = 4 - 8 π .

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