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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 63

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.

y = e - x ,   x = 0 ,   y = π ; e m   t o r n o   d o   e i x o   x = 1

Passo 1

Como a função está limitada por x = 0 , e gira em torno de x = 1 , a limitação é de - 1 a 0 . Assim, o volume será

V = ∫ - 1 0 2 π ( 1 - x ) e - x d x

Passo 2

Usaremos a substituição para resolver, então

u = 1 - x ,   d v = e - x d x → d u = - d x ,   v = - e - x

Passo 3

Agora a gente finaliza substituindo em V :

V = 2 π ( 1 - x ) ( - e - x ) - 1 0 - 2 π ∫ - 1 0 e - x d x = 2 π x - 1 e - x + e - x - 1 0 =

2 π x e - x - 1 0 = 2 π 0 + e = 2 π e

Resposta

V = 2 π e .

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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo x da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e a casca típica. y = 4 x 2 , 2 x + y = 6
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. Esboce a região e a casca típica. y = x 2 , y = 0 ,
A região limitada pelas curvas dadas é girada ao redor dos eixos especificados. Ache o volume do solido resultante por qualquer método y = x 2 + x - 2 , y = 0 ; ao redor do eixo x
Use a Regra do Ponto Médio com n = 4 para estimar o volume obtido pela rotação ao redor do eixo y da região sob a curva y = t g x , 0 ≤ x ≤ π / 4
A região limitada pelas curvas dadas é girada ao redor dos eixos especificados. Ache o volume do solido resultante por qualquer método. x 2 + y - 1 2 = 1 ; ao redor do eixo x