Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica.

y = x², y = 6x - 2x²

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema temos que usar o método das cascas cilíndricas para obter o volume do solido gerado pela rotação das curvas

x = y 2 ,     y = 6 x - 2 x 2

Ao redor do eixo y .

Parece complicado?

O método das cascas cilíndricas é calculado quando a rotação é feita no eixo y pela equação

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Veja só!

Passo 2

Esboçando a região e uma casca típica:

Bora lá!

Passo 3

Igualando as funções para encontrar onde elas se tocam, logo, o limite da casca temos

x 2 = 6 x - 2 x 2

3 x 2 - 6 x = 0

3 x x - 2 = 0

x = 0   o u   x = 2

Calculando o volume:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Substituindo os valores

V = ∫ 0 2 2 π x 6 x - 2 x 2 - x 2 d x

V = 2 π ∫ 0 2 - 3 x 3 + 6 x 2 d x

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

V = 2 π - 3 4 x 4 + 2 x 3 0 2

V = 2 π - 12 + 16

V = 8 π

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

V = 8 π .

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