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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 35

Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x * . Determine o valor da solução exata em x *

y ' = 2 x e x 2 ,     y 0 = 2 ,     d x = 0.1 ,     x * = 1

Passo 1

Primeiramente vamos calcular o valor exato da equação resolvendo a EDO com o ponto inicial dado. Assim, teremos

y ' = 2 x e x 2

d y d x = 2 x e x 2 → d y = 2 x e x 2 d x        

Integrando ambos os lados vamos obter

∫ d y = ∫ 2 x e x 2 d x

y = e x 2 + C

Utilizando o ponto inicial dado y 0 = 2 teremos

2 = e 0 2 + C → C = 1    

∴ y = 1 + e x 2

Calculando o valor exato para x * = 1 vamos obter

y e x a t o = 1 + e 1 2 = 1 + e ≈ 3.71828

Passo 2

Para aplicarmos o método de Euler precisamos encontrar o termo que vai nos dar a iteração, dessa forma, faremos

d y d x = 2 x e x 2 ,   y 0 = 2 → y n + 1 = y n + 2 x n e x n 2 ⋅ d x

Para d x = 0.1 temos

y n + 1 = y n + 2 x n e x n 2 ⋅ 0.1 = y n + ( 0 . 2 ) ⋅ x n e x n 2    

Usando a calculadora TI-84 vamos seguir os comandos abaixo para obter uma aproximação pelo método de Euler:

2   S T O   >   y :   0   S T O   >   x :   y   e n t e r

y + 0.2 * x * e x 2 S T O   >   y :   x +   0.1   S T O   >   x :   y   ( e n t e r ,   10   t i m e s )

O último valor mostrado no display será y e u l e r ≈ 3.45835 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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