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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 15

Utilize o método de Euler para calcular as três primeiras aproximações do problema de valor inicial dado para o tamanho do incremento especificado. Calcule a solução exata e estude a precisão de suas aproximações. Arredonde até a quarta casa decimal.

y ' = 2 x e x 2

y 0 = 2 ; d x = 0 , 1

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular as três primeiras aproximações para o problema de Valor inicial dado:

Temos as seguintes informações:

y ' = 2 x e x 2

y 0 = 2 ; d x = 0,1

Então, vamos lá:

y 1 = y 0 + 2 x 0 e x 0 2 d x

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   2 + 2.0 . 0,1 = 2  

y 1 = 2

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 = y 1 + 2 x 1 e x 1 2 d x

y 2 =   2 + 2 0,1 e 1 2 0,1 = 2,0202  

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = y 2 + 2 x 2 e x 2 2 d x

y 3 = 2,0202 + 2 0,2 e 2 2 0,1

y 3 = 2,0618

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = 2 x e x 2

Podemos utilizar o método das equações separáveis, vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ d y =   ∫ 2 x e x 2 d x

y = 2 x 2 + C

Passo 3

Para y 0 = 2   temos:

2 = e 0 + C

C = 1

Logo,

y =   e x 2 + 1

Passo 4

Agora, vamos verificar a precisão da aproximação:

y 0 , 3 ≅ e 3 2 + 1 ≅ 2,0942

Resposta

y 0 , 3 ≅ 2,0942

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Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x * . Determine o valor da solução exata em x * y ' = 2 y 2 ⋅ x - 1 , y 2 = - 1 2 , d x = 0.1 , x * = 3
Use o método de Euler com d x = 0,05 para estimar y(c), onde y é a solução para o problema de valor inicial dado. c = 4 ;d y d x =x 2 - 2 y + 1 x ,y 1 = 1
Use o método de Euler com d x = 0,05 para estimar y(c), onde y é a solução para o problema de valor inicial dado. c = 3 ;d y d x =x - 2 y x + 1 ,y 0 = 1
Use o método de Euler para resolver o problema de valor inicial no intervalo dado, começando em x 0 com d x = 0,1 . y ' = 2 - y 2 x + 3 , y - 3 = 1 ; - 3 ≤ x ≤ - 1 ;x 0 = - 3
Use o método de Euler para resolver o problema de valor inicial no intervalo dado, começando em x 0 com d x = 0,1 . y ' = y + cos ⁡ x, y 0 = 0 ;0 ≤ x ≤ 2 ;x 0 = 0