Utilize o método de Euler para calcular as três primeiras aproximações do problema de valor inicial dado para o tamanho do incremento especificado. Calcule a solução exata e estude a precisão de suas aproximações. Arredonde até a quarta casa decimal.

y' = 2 * x * e^(2x)

y(0) = 2; dx = 0, 1

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular as três primeiras aproximações para o problema de Valor inicial dado:

Temos as seguintes informações:

y ' = 2 x e x 2

y 0 = 2 ; d x = 0,1

Então, vamos lá:

y 1 = y 0 + 2 x 0 e x 0 2 d x

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   2 + 2.0 . 0,1 = 2  

y 1 = 2

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 = y 1 + 2 x 1 e x 1 2 d x

y 2 =   2 + 2 0,1 e 1 2 0,1 = 2,0202  

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = y 2 + 2 x 2 e x 2 2 d x

y 3 = 2,0202 + 2 0,2 e 2 2 0,1

y 3 = 2,0618

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = 2 x e x 2

Podemos utilizar o método das equações separáveis, vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ d y =   ∫ 2 x e x 2 d x

y = 2 x 2 + C

Passo 3

Para y 0 = 2   temos:

2 = e 0 + C

C = 1

Logo,

y =   e x 2 + 1

Passo 4

Agora, vamos verificar a precisão da aproximação:

y 0 , 3 ≅ e 3 2 + 1 ≅ 2,0942

Resposta

y 0 , 3 ≅ 2,0942

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