Utilize o método de Euler com d x = 0,2 para estimar y ( 1 ) se y ' = y e y 0 = 1 . Qual o valor exato de y 1 .

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular utilizando esse método o valor estimado de y ( 1 )

Temos as seguintes informações:

y ' = y

y 0 = 1 ; d x = 0,2

Então, vamos lá:

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   1 + 1 ( 0,2 ) = 1,2  

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 =   1,2 + ( 1,2 ) ( 0,2 ) = 1,44  

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = 1,44 + 1,44 0,2 = 1,7228

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = y

Que pode ser reescrita da seguinte forma:

d y d x = y

d y y = d x

Podemos utilizar o método das equações separáveis, vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ d y y =   ∫ d x

ln ⁡ y = x + C

Aplicando a propriedade dos logaritmos em ambos os lados da equação, temos:

e ln ⁡ y   = e x + C

y = e x .   C

Passo 3

Para y 0 = 1   temos:

1 = C e 0

C = 1

Logo,

y = e x

Passo 4

Agora, queremos o valor exato para y ( 1 )

y 1 ≅ e ≅ 2,7183

Resposta

y 1 ≅ e ≅ 2,7183

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados