Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.8 - Ex. 25
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproxima��ão inicial.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi pedido pra usarmos o método de Newton para encontrar as raízes da equação
Parece complicado?
Para resolver esse problema temos que transformar essa equação em uma função... pra isso passamos todos os termos para um lado e fazemos , ou seja
Já o método de Newton consiste em aplicar a fórmula
A partir de um chute inicial
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de .
Pra isso vamos aplicar a regra do produto e da cadeia...
Organizando tudo isso, temos
Show?
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , pelo gráfico abaixo de e parace ter pontos de intersecção em e , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:
Primeiro para :
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Agora com :
Vamos com :
Agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora com , sei que é cansativo mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
E aí! o que achou? Responde Aí!
Resposta
As raizes da equação são e .