Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 3

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 3 → sen ⁡ 0 - 0 0 3 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 3 = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - x 1 - 1 3 x 3 - 1 = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 3 x 2 → cos ⁡ 0 - 1 3 . 0 2 → 0 0

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ x - 0 3 . 2 . x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ x 6 x → - sen ⁡ 0 6 . 0 → 0 0

Vamos ter que usar de novo, calma que uma hora acaba, vamos lá:

lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ x 6 x = lim x → 0 ⁡ - cos ⁡ x 6 x 1 - 1 = lim x → 0 ⁡ - cos ⁡ x 6 = - cos ⁡ 0 6 = - 1 6

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 3 = - 1 6

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