Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 42
Use o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da região.
A região englobada pelos gráficos de e .
Passo 1
Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:
Ou
E calculá-la.
Mas para descobrir os extremos de integração, muitas vezes precisamos achar a interseção entre curvas, e é aí que entra o método de Newton. Ele diz que usando essa fórmula:
Achamos uma aproximação para que zera a função . E para achar a interseção entre duas funções e a partir desse método, fazemos:
E chamamos:
Aí só usar a fórmulinha. Belezinha? Vamos começar!
Passo 2
Essa é a nossa região:
Vemos que a região está limitada por cima pela função e por baixo pela função . Percebemos também que nossa região é simétrica em relação , por isso podemos achar a área da direita e multiplicar por dois. Já que temos funções de , podemos escrever nossa integral como:
O desafio é achar os extremos de integração. Vamos fazer a interseção entre as curvas:
A solução dessa equação, a gente vai ter que achar usando o método de Newton.
Agora a gente usa a fórmula de Newton até aproximar o valor de com pelo menos quatro casas decimais:
Pelo gráfico a gente vê que a interseção no lado direito ocorre entre e , por isso vamos chutar . Vemos que e já repetem 4 casas decimais.
Logo, nosso .
Passo 3
Agora é só calcular a integral:
Lembrando que:
Temos que: