Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 9
Em cada um dos problemas de 1 a 12:
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada
(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
9.
Passo 1
a) Bom, teremos duas singularidades, uma em e outra em , porque elas zeram o primeiro termo na equação. Para sabermos se é uma singularidade, escrevemos a equação diferencial como:
Então dividimos tudo por e multiplicamos por :
Sendo que:
Agora aplicamos o limite para sobre os termos que envolvem no denominador, porque assim podemos analisar se o limite diverge ou não, se divergir, a singularidade é irregular. Assim:
Apesar de um limite convergir, o outro diverge, o que significa que o ponto é uma singularidade irregular.
Para , a gente repete tudo, a única diferença vai ser na hora de multiplicar, invés de multiplicarmos por , vamos multiplicar por , a equação fica o seguinte:
E os limites:
Como os dois são finitos, isso significa que esse ponto é singular regular.
Passo 2
b) A equação indicial pode ser escrita da seguinte forma:
Então a gente substitui e calculados para :
As raízes serão:
E elas serão os expoentes na singularidade.