Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano.

Vamos começar com a função :

Então

Aplicando na equação diferencial:

E é solução da equação.

A próxima função é :

Então

Se aplicarmos na equação diferencial:

E verificamos que também é solução.

Vamos agora para a função :

E

Substituindo na equação:

Então, também é solução.

Vamos agora determinar se é solução. As derivadas são:

E

Aplicando na equação diferencial:

E mostramos que a equação também é solução.

O nosso próximo passo será calcular o wronskiano. O wronskiano é definido como:

O determinante da matriz em que cada coluna representa uma função solução e cada uma das suas derivadas até uma ordem a menos que a ordem da equação diferencial. Como nossa equação diferencial era de quarta ordem, nosso wronskiano deve ir até a terceira derivada. Tudo bem???

Então, nosso wronskiano é:

Para calcular o determinante precisamos reduzir a matriz para uma ordem menor. Para isso vamos aplicar a regra de Chió. Ela é dada por:

Encontramos um coeficiente igual a 1. Então selecionamos a linha e a coluna do coeficiente. Dos termos que restaram devemos subtrair a multiplicação dos termos correspondentes na linha e coluna que retiramos. Vamos fazer pegar um termo para exemplificar:

O termo na matriz original é . Na coluna em que ele estava retiramos o número e, na linha em que ele estava retiramos o número 0. Tudo bem???

Na matriz reduzida este termo será . Fez sentido agora? Vamos então determinar a matriz reduzida:

Agora que temos uma matriz 3x3 podemos calcular o determinante: